Задачи на нахождение площади круга - обязательная часть ЕГЭ по математике. Как правило, этой теме отводится сразу несколько заданий в аттестационном испытании. Понимать алгоритм нахождения длины окружности и площади круга должны все старшеклассники, независимо от уровня их подготовки.

Если подобные планиметрические задачи вызывают у вас затруднения, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами вы сможете восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе сайта представлена большая подборка задач на нахождение длины окружности и площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ. Научившись их правильно выполнять, выпускник сможет успешно справиться с экзаменом.

Основные моменты

Задачи, в которых требуется применить формулы площади, могут быть прямыми и обратными. В первом случае известны параметры элементов фигуры. При этом искомой величиной является площадь. Во втором случае, наоборот, площадь известна, а найти необходимо какой-либо элемент фигуры. Алгоритм вычисления правильного ответа в подобных заданиях различается только порядком применения базовых формул. Именно поэтому, приступая к решению таких задач, необходимо повторить теоретический материал.

На образовательном портале «Школково» представлена вся базовая информация по теме «Нахождение длины окружности или дуги и площади круга», а также по другим темам, например, Ее наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме.

Вспомнив основные формулы, учащиеся могут приступить к выполнению задач на нахождение площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ, в режиме онлайн. Для каждого упражнения на сайте представлено подробное решение и дан правильный ответ. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить с преподавателем.

• 22.09.2014

  Принцип действия. При нажатии кнопки первой цифры кода SA1 триггер DD1.1 переключится и на входе D триггера DD1.2 появится напряжение высокого уровня. Поэтому при нажатии очередной кнопки кода SA2 триггер DD1.2 изменяет свое состояние и подготавливает к переключению следующий триггер. В случае дальнейшего правильного набора последним сработает триггер DD2.2, и …

• 03.10.2014

  Предлагаемое устройство стабилизирует напряжение до 24В и током до 2А с защитой от замыкания. В случае неустойчивого запуска стабилизатора следует применить синхронизацию от автономного генератора импульсов рис. 2 . Схема стабилизатора показана на рис.1. На VT1 VT2 собран триггер Шмитта, который управляет мощным регулирующим транзистором VT3. Детали: VT3 снабжен теплоотводом …

• 20.09.2014

  Усилитель (см. фото) выполнен по традиционной схеме с автосмещением на лампах: выходные – AL5, драйверы – 6Г7, кенотрон – AZ1. Схема одного из двух каналов стереоусилителя показана на рис.1. С регулятора громкости сигнал поступает на сетку лампы 6Г7, усиливается и с анода этой лампы через разделительный конденсатор C4 подается на …

• 15.11.2017

  NE555 - универсальный таймер - устройство для формирования (генерации) одиночных и повторяющихся импульсов со стабильными временными характеристиками. Представляет собой асинхронный RS-триггер со специфическими порогами входов, точно заданными аналоговыми компараторами и встроенным делителем напряжения (прецизионный триггер Шмитта с RS-триггером). Применяется для построения различных генераторов, модуляторов, реле времени, пороговых устройств и прочих …

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.

Определение длины дуги

Производится по следующей формуле:

где L – искомая длина дуги, π = 3,14 , r – радиус окружности, α – центральный угол.

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

l = πrα / 180°

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

• π - число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
• r - радиус данной окружности;
• α - величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

l = (2πr / 360°) × α

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно - 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество "кусков пирога", которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Ответ: l = 5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m - это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:

• m - радианная мера угла;
• r - радиус данной окружности.