Примеры
- 1-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
- 2-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
- 3-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
- 4-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.
История изучения
Чётные совершенные числа
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.
На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .
Нечётные совершенные числа
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org .
Свойства
Примечательные факты
Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях , - утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут , означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».
"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."
См. также
- Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
Примечания
Ссылки
- Депман И. Совершенные числа // Квант . - 1991. - № 5. - С. 13-17.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Совершенное число" в других словарях:
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ …
Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Напр., 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14 суть совершенные числа … Большой Энциклопедический словарь
Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (то есть меньших этого числа) делителей. Например, 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 суть совершенного числа. * * * СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, натуральное число, равное сумме… … Энциклопедический словарь
Целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число является С. ч., если С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336 … Математическая энциклопедия
ЧИСЛО, СОВЕРШЕННОЕ, ЦЕЛОЕ число, равное сумме своих ДЕЛИТЕЛЕЙ, включая 1. Например, число 28 является совершенным числом, поскольку его делителями являются числа 1, 2, 4, 7 и 14 (не считая само число 28), а их сумма равна 28. Не известно,… … Научно-технический энциклопедический словарь
Числа вида Mn = 2n 1, где n натуральное число. Названы в честь французского математика Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами… … Википедия
Число - С древнейших времен различным числам приписывали тайные значения. Философы, последователи Пифагора (около 500 г. до Р.Хр.), утверждали, что числа являются основным началом и сущностью вещей и подробно определили качества и роды чисел. По их… … Словарь библейских имен
Непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… … Математическая энциклопедия
Шестиугольное число фигурное число. n ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n го шестиугольного числа … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. 6 (значения). 6 шесть 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 Факторизация: 2×3 Римская запись: VI Двоичное: 110 Восьмеричное: 6 Шестна … Википедия
Оперируя большими числами, ученые пользуются степенями 10 для того, чтобы избавиться от огромного количества нулей. Например, 19 160 000 000 000 миль можно записать как 1,916·10 13 миль. Так же точно очень маленькое число, например 0,0000154324 г, может быть записано 1,54324·10 –5 г. Из приставок, используемых перед числительными, самой малой величине соответствует атто, происходящая от датского или норвежского atten – восемнадцать. Приставка означает 10 –18 . Приставка экса (от греческого hexa, т.е. 6 групп по 3 нуля), или сокращенно Э, означает 10 18 .
Самые большие числа
Самым большим числом, встречающимся в толковых словарях и имеющим название – степенью 10, является центилион, впервые использованный в 1852 г. Это миллион в сотой степени, или единица с 600 нулями.
Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя , равное 10 140 ; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящихся к 100 г. до н.э.
Число 10 100 называется гугол . Этот термин был предложен 9-летним племянником Эдварда Каснера (США) (ум. в 1955 г.). 10 в степени гугол называется гуголплексом. Некоторое представление об этой величине можно получить, вспомнив, что количество электронов в наблюдаемой Вселенной, согласно некоторым теориям, не превышает 10 87 .
Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма, впервые использованная в 1977 г. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1977 г.
Наибольшее число множителей
Специалисты по ЭВМ, использовав более 400 связанных между собой компьютеров, нашли множители 100-значного числа. Вычисления, занявшие 26 дней, ставят под вопрос надежность многих современных шифровальных систем.
Простые числа
Простым числом является любое положительное целое число (кроме 1), делящееся только на себя или на единицу, т.е. 2, 3, 5, 7 или 11. Самое маленькое простое число – 2. Самое большое простое число, 391 581·2 216193 – 1, было открыто 6 августа 1989 г. группой Aмдал-6 . Число, содержащее 65 087 знаков, было получено на суперкомпьютере «Амдал-1200» в Санта-Кларе, штат Калифорния, США. Группа также открыла самые большие парные простые числа: (1 706 595·2 11235 – 1) и (1 706 595·2 11235 + 1). Самым маленьким непростым или составным числом (кроме 1) является 4.
Совершенные числа
Число является совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа, например 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3.
Самое большое известное, 31-е по счету открытое на сегодняшний день, число: (2 216091 – 1)·2 216090 . Это число получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном (США) числа 2 216091 – 1, которое в настоящее время известно как второе самое большое простое число.
Новейшая математическая константа
В ходе исследований турбулентного течения воды, погоды и других хаотических явлений выявилось существование новой универсальной константы – числа Фейгенбаума, названного по имени его первооткрывателя. Приблизительно оно равно 4,669201609102990.
Максимальное число доказательств теоремы
Самое длинное доказательство
Доказательство классификации всех конечных простых групп заняло более 14 тыс. страниц, вмещающих почти 500 научных работ, авторами которых явились более 100 математиков. Доказательство продолжалось более 35 лет.
Самая старая математическая задача
Она датируется 1650 г. до н.э. и в русской версии звучит следующим образом:
По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жён.
У каждой жены по семь тюков,
Вкаждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жён
Мирно двигались в Дижон?
Самое большое претендовавшее на точность число в физике
Английский астроном сэр Артур Эддингтон (1882...1944) заявил в 1938 г., что во Вселенной ровно 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 протонов и столько же электронов. К сожалению Эддингтона, никто не согласился с его сверхточными подсчетами, которые в настоящее время всерьёз не воспринимаются.
Самый плодовитый математик
Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) (1707...1783) был настолько плодовит, что и через 50 с лишним лет после его смерти его труды все ещё печатались впервые. Собрание его сочинений частями выпускается в свет, начиная с 1910 г., и в конечном итоге составит 75 больших томов размером ин-кварто.
Самая большая премия
Д-р Пауль Вольфскелл завещал в 1908 г. премию в 100 тыс. немецких марок тому, кто первым докажет «Великую теорему» Ферма . В результате инфляции размер премии составляет сейчас немногим более 10 тыс. немецких марок.
Самый длительный поиск на ЭВМ ответа на вопрос: да или нет?
20-е число Ферма + 1 было проверено на суперкомпьютере «Крэй-2» в 1986 г. с целью ответа на вопрос, является ли оно простым. После 10 дней вычислений был получен ответ – НЕТ.
Самые неграмотные в математическом отношении
Люди племени намбиквара, живущие на северо-западе штата Мату-Гросу, Бразилия, самые неграмотные в математике. У них полностью отсутствует система чисел. Правда, они пользуются глаголом, который обозначает «они равны».
Самое точное и неточное значение числа π
Самое большое количество десятичных знаков числа π, равное 1 011 196 691 знаку после запятой, было получено в 1989 г. Дэвидом и Грегори Чудновски из Колумбийского университета, Нью-Йорк, США, использовавшими суперкомпьютер «Крэй-2» и сеть компьютеров ИБМ 3090. Вычисления были сверены для точности. Кстати, десятичные разряды π с 762-го по 767-й после запятой содержат 6 девяток подряд.
В 1897 г. Генеральная Ассамблея американского штата Индиана утвердила билль 246, согласно которому число π принималось равным 4. В 1853 г. Уильям Шанкс опубликовал свои расчеты числа π до 707-го десятичного знака, произведённые вручную. Спустя 92 года, в 1945 г., было обнаружено, что последние 180 цифр неверны.
Самые древние единицы измерения
Самой древней известной мерой веса является бека амратского периода египетской цивилизации (около 3800 г. до н.э.), найденная в Накаде, Египет. Гири были цилиндрической формы с закруглёнными концами. Они весили от 188,7 до 211,2 г.
По-видимому, строители гробниц эпохи мегалита на северо-западе Европы (около 3500 г. до н.э.) пользовались мерой длины, равной 82,9 ± 0,09 см. К такому выводу пришел профессор Александр Том (1894...1985) в 1966 г.
Измерение времени
Вследствие изменения продолжительности суток, которые увеличиваются в среднем на 1 мс за век под влиянием приливных сил Луны, было пересмотрено определение секунды. Вместо 1/86 400 части средних солнечных суток ее длительность с 1960 г. определяется как 1/315 569 259 747 часть солнечного (или тропического) года по состоянию на 12 часов эфемеридного времени января 1900 г. В 1958 г. секунда принята равной 9 192 631 770 ± 20 периодам излучения, соответствующего переходу между уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей. Самое большое суточное изменение было зарегистрировано 8 августа 1972 г., оно составляло 10 мс и было вызвано самой мощной солнечной бурей, наблюдаемой за последние 370 лет.
Точность цезиевого эталона частоты приближается к 8 частям на 10 14 , что выше, чем 2 части на 10 13 для гелиево-неонового лазера, стабилизированного метаном, и чем 6 частей на 10 13 для водородного мазера.
Самой длинной мерой времени является кальпа в индуистской хронологии. Она равна 4320 млн лет. В астрономии космический год есть период обращения Солнца вокруг центра Млечного Пути, он равен 225 млн лет. В позднем меловом периоде (около 85 млн лет назад) Земля вращалась быстрее, в результате чего год состоял из 370,3 суток. Имеются также свидетельства тому, что в эпоху кембрия (600 млн лет назад) год длился более 425 суток.
Книга рекордов Гиннеса, 1998 г.
Наука и Жизнь 1981 №10
Каждый из нас чем-либо да увлекается. Одни коллекционируют марки, камни, спичечные коробки; другие столярничают или разводят цветы, третьи ломают голову над шахматными этюдами. А автор этих строк забавляется числами, преимущественно натуральными. Увлечению этому без малого полвека, а оно не слабеет, по-прежнему доставляет радость, приводит к неожиданным находкам. Получат ли эти находки практическое применение? Такие случаи у меня бывали. Будут ли дальше? Не знаю. Бенджамин Франклин на этот вопрос отвечает так: «А какое применение у новорожденного?» В самом деле, какое? Это покажет время. А пока расскажем об одной такой забаве, оканчивающейся довольно любопытно. И начнем издалека.
Возьмём любое многозначное натуральное число, вычислим сумму его цифр, потом вновь сложим цифры полученной суммы и будем повторять это до тех пор, пока не придем к однозначному числу. Его-то и назовём конечной суммой цифр заданного числа, а для краткости обозначим КСЦ.
Например, КСЦ числа 27816365 равна 2, так как 2+7+8+1+6+3+6+5=38, далее 3+8=11, наконец, 1+1=2.
Всякое натуральное число при делении на 9 даст в остатке КСЦ делимого. Если же число делится на 9 нацело, то, естественно, остаток равен нулю.
Пусть задано натуральное число:
10 n *a+10 n-1 *b+10 n-2 *c+...+10p+r.
Представим его в таком виде:
(10-1) n *а+(10-1) n-1 *b+(10-1) n-2 *c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+p+r.
Ясно, что слагаемые, содержащие множители вида (10-1) k , кратны девяти. Следующую за ними сумму цифр заданного числа (a+b+c...+p+r) также представим в виде:
(10-1) m *a 1 +(10-1) m-1 *b 1 +(10-1) m-2 *c 1 +...(10-1)*p 1 +a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1 (1)
Новая сумма цифр (a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1) уже меньше предыдущей. Продолжая этот процесс, мы непременно придём к остатку, который окажется числом однозначным, иначе говоря,- к КСЦ заданного числа.
Рассмотрим то же на вышепривдённом примере:
27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.
Поэтому для вычисления КСЦ не обязательно складывать все цифры. Достаточно отбросить в числе все девятки: 2+7; 8+1; 6+3, а в оставшихся цифрах 6 и 5 остается отбросить 6+3. В результате получим КСЦ = 2.
Из этого следует, что разность между заданным числом (А) и его КСЦ всегда кратна девяти. Принято говорить, что А сравнимо с его КСЦ по модулю 9, а записывается это так:
А = КСЦ (mod 9), (1)
(здесь три чёрточки - знак сравнения).
Расположим теперь все натуральные числа в таблицу 1 так, чтобы в каждой строке их КСЦ была постоянна и равна крайнему левому числу строки.
| 1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64 | 73 | ... |
| 2 | 11 | 20 | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | ... |
| 3 | 12 | 21 | 30 | 39 | 48 | 57 | 66 | 75 | ... |
| 4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 67 | 76 | ... |
| 5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | ... |
| 6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 | 60 | 69 | 78 | ... |
| 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 | 79 | ... |
| 8 | 17 | 26 | 35 | 44 | 53 | 62 | 71 | 80 | ... |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | ... |
Таблица 1
Если обозначить числа первого столбца через a i (i=1..9) то любое число в i-й строке (А i) запишется так:
A i = a i (mod 9). (2)
Сравнения можно складывать (а следовательно, и перемножать и возводить в степень) как обычные равенства:
A 1 =
a 1 (mod 9)
+
A 2 =
a 2 (mod 9)
A 1 +A 2 = (a 1 +a 2) (mod 9) (3)
Докажем это. Из (3) следует, что
(A 1 -a 1)/9=B 1 , и (A 2 -a 2)/9=B 2
где B 1 и В 2 - числа натуральные. Значит, и сумма их также число натуральное. Отсюда и вытекает результат в равенстве (3).
Доказательства для произведения и степени вы легко найдете сами.
А вот примеры:
21 =
3 (mod 9)
+
32 =
5 (mod 9)
=
53 =
8 (mod 9),
21*32 =
15 (mod 9),
иначе
21*32 =
6 (mod 9).
Следовательно, для того, чтобы выяснить, в какой строке таблицы 1 помещается сумма (произведение, степень) натуральных чисел, достаточно сложить (перемножить, возвести в степень) их КСЦ.
Составим ещё таблицу (2) степеней, начиная с квадратов первых девяти натуральных чисел, а в скобках запишем их КСЦ.
Из таблицы 2 видно, что КСЦ в любой строке повторяется через каждые 6 степеней. Поэтому достаточно рассмотреть степени со второй по седьмую.
| 1 2 =1 (1) | 1 3 =1 (1) | 1 4 =1 (1) | 1 5 =1 (1) | 1 6 =1 (1) | 1 7 =1 (1) | 1 8 =1 (1) |
| 2 2 =4 (4) | 2 3 =8 (8) | 2 4 =16 (7) | 2 5 =32 (5) | 2 6 =64 (1) | 2 7 =128 (2) | 2 8 =256 (4) |
| 3 2 =9 (9) | 3 3 =27 (9) | 3 4 =81 (9 | 3 5 =243 (9) | 3 6 =729 (9) | 3 7 =2187 (9 | 3 8 =6561 (9) |
| 4 2 =16 (7) | 4 3 =64 (1) | 4 4 =256 (4) | 4 5 =1024 (7) | 4 6 =4096 (1) | 4 7 =16384 (4) | 4 8 =65536 (7) |
| 5 2 =25 (7) | 5 3 =125 (8) | 5 4 =625 (4) | 5 5 =3125 (2) | 5 6 =15625 (1) | 5 7 =78125 (5) | 5 8 =390625 (7) |
| 6 2 =36 (9) | 6 3 =216 (9) | 6 4 =1296 (9) | 6 5 =7776 (9) | 6 6 =46656 (1) | 6 7 =279936 (9) | 6 8 =1679616 (9) |
| 7 2 =49 (4) | 7 3 =343 (1) | 7 4 =2401 (7) | 7 5 =16807 (4) | 7 6 =117649 (1) | 7 7 =423543 (7) | 7 8 =5764801 (4) |
| 8 2 =64 (1) | 8 3 =512 (8) | 8 4 =4096 (1) | 8 5 =32762 (8) | 8 6 =262144 (1) | 8 7 =2097152 (8) | 8 8 =16777216 (1) |
| 9 2 =81 (1) | 9 3 =729 (9) | 9 4 =6561 (9) | 9 5 =59049 (9) | 9 6 =531441 (9) | 9 7 =4782969 (9) | 9 8 =43046721 (9) |
Таблица 2
Много любопытного обнаруживается при сопоставлении первой и второй таблиц. Например: не существует степеней (кроме первой), для которых КСЦ равнялась бы трём или шести. КСЦ для шестых степеней равно только единице или девятке, а для третьих степеней - ещё и восьмерке. Для вторых и четвертых степеней КСЦ имеют одни и те же значения - 1, 4, 7, 9,- но четвёрки и семёрки у них поменялись местами.
Или вот ещё: КСЦ=2 встречается только дважды - у 5 5 и у 2 7 , а КСЦ=5 - также в двух случаях,- у 2 5 и 5 7 . Основания степеней в обоих случаях одинаковы, а показатели их поменялись местами.
Много чего можно отыскать в этих таблицах. Однако все это присказка, сказка впереди.
Немало времени прошло, пока не обнаружилось новое и, на мой взгляд, замечательное свойство таблицы 1. Оказалось, что все чётные совершенные числа (исключая шестёрки) располагаются только в ее первой строке. (Напомню: совершенными называются числа, равные сумме всех своих младших делителей). Иначе говоря, все (кроме первого) чётные совершенные числа (S) сравнимы с единицей по модулю 9:
Совершенные числа, о которых идет речь (а других мы не знаем), вычисляются по формуле Евклида:
S=2 p-1 (2 p -1) (5)
где и p, и (2 p -1) должны быть числами простыми. (Простыми называются числа, делящиеся только на себя и на единицу.)
Итак, перейдём к доказательству. Понятно, что число p, как всякое простое (кроме двойки), нечётно. Из таблицы 2 видно, что нечётный показатель степени у двойки может быть либо 3, либо 5, либо 7. При этом КСЦ этих степеней соответственно равны 8, 5 и 2. В таком случае КСЦ у (2 p -1) равны 7, 4 и 1. Что касается показателя степени у первого множителя в (5), то есть p-1, то он равен либо 2, либо 4, либо 6, а КСЦ этих степеней 2 p -1 равны соответственно 4, 7 и 1.
Остается перемножить КСЦ обоих сомножителей уравнения (5): 7*4; 4*7; 1*1, что даёт 28, 28 и 1. КСЦ всех этих трёх произведений равна 1. Что и требовалось доказать!
Так как мы не ставили никаких ограничений ни для множителя (2 p -1), ни для показателя p (кроме того, что он должен быть нечётным), то не только совершенные, но и все числа с нечётным p, вычисленные по формуле (5), расположены только в первой строке таблицы 1.
Не правда ли, любопытное свойство формулы Евклида?
Насколько мне известно, число приверженцев рубрики «Математические досуги», ведущейся в журнале вот уже почти 20 лет, не уменьшается, и среди них много таких читателей, кого интересуют забавы с числами. Тем же, кто ещё к этому не приобщился, советуем: играйте с числами! Не пожалеете!
Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.
Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.
«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).
Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.
Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число, равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:
666=22+32+52+72+112+132+172,
666=1+2+3++34+35+36.
Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.
Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.
Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью. Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.
Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.
После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.
Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.
И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:
Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.
Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:
67=1+2+64 и т. д.
Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:
1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.
Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.
Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.
а к- при которых ак-1/а-1 просты
В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.
Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.
Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.
Р=17,8589869156 (шестое число)
Р=19,137438691328 (седьмое число)
Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).
Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:
2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.
В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.
Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:
618970019642690137449562111*288, р=89.
Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:
162259276829213363391578010288127*2106, р=107.
Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).
Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).
В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).
Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:
22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)
22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).
Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.
Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).
Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.
Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.
Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.
Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.
И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:
1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.
2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.
3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.
4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля «Сикстинская Мадонна». Какое отношение он имеет к совершенным числам.
5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.
6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.
7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.
8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного.
Актуальность исследовательского проекта по выбранной теме: современная наука и техника раскрыли величие человеческого разума. Они изменили мир и представления о нем. Но до сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы. Совершенные числа не изучены в полной мере. Это одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.
Идея (проблема). Данная тема мною была выбрана не случайно. Мне интересно узнавать что-новое, необычное. Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах. Но когда, изучая энциклопедию по математике, увидел тему «наибольший общий делитель», мне показалось, что это очень неинтересно -считать все время по одному и тому же алгоритму. Своими сомнениями поделился с учителем. И она ответила, что делители - это одно из самых загадочных понятий в математике. Просто необходимо узнать по этой теме побольше. Я решил последовать ее совету и очень скоро убедился, что это действительно так. Как интересен мир совершенных чисел. Так родилась моя исследовательская работа.
Цели моего проекта заключается в следующем:
познакомиться с понятием совершенного числа;
исследовать свойства совершенных чисел;
привлечь внимание учащихся к данном теме.
Задачи проекта:
изучить и проанализировать литературу по теме исследования;
«открыть» свойства совершенных чисел и область их применения;
расширить свой умственный кругозор.
Гипотеза: выяснить роль совершенных чисел в математике.
Вид проекта: исследовательский, моно предметный, индивидуальный. Объект изучения: совершенные числа и их свойства.
Сроки проведения исследования: две недели.
Методика исследования:
сбор и изучение литературы и материалов;
опрос-обращение к определенной группе людей, путем письменного анкетирования и устного интервьюирования;
продукт исследования - мультимедийная презентация по теме.
Что такое совершенные числа
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.
Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.
Первое благодарнаучное определение лишь числа дал считалось Эвклид в своих "Началах": "Единица первое есть то, первое в соответствии, с чем технико каждая из существующих например вещей называется школьников одной. Число сбор есть множество, многим сложенное из единиц".
Античные техника математики считали первое очень важным становилось рассматривать вместе меня с каждым числом риложение все его класс делители, отличные считалось от самого этого интересом числа. Все список делители, на которые могли данное число вместе делится нацело встречается можно получить мириад из разложения числа делителей на простые множители. Такие мириад делители называют собственными. Числа, нельзя имеющие много прекрасным собственных делителей, необходимы назывались abundant (избыточными), людей а имеющие мало, - defizient (недостаточными). При простое этом в качестве книги меры использовалось века не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей
1 + 2 + 5 = 8 < 10,
так что делителей «недостаток». Для 12 же
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,
т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 - «недостаточное», а 12 - «избыточное» число.
Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6
То же для 28:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся счет на пальцах (приложение 1), при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 - первое совершенное число.
Поиск вайте совершенных чисел.
Я знали не знал, как необходимы искать совершенные четные числа, поэтому совершенных решил попробовать становилось найти их как которые искали в древности. Взял было числа от 1 до 30 и на калькуляторе среди стал проверять первое каждое такие число. Посмотрите, что мириады у меня получилось. (приложение 2). Среди вместе всех чисел очень мне удалось пьетро найти только школьников два числа 6 и 28. Очень трудоемкий технико поиск как приложение оказалось.
История открытия совершенных чисел.
4.1 Четные совершенные числа.
Никомах Герасский (I-II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик (приложение 2), писал:
Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.
Сколько же их? Никомах четвертое этого не знал. Первым понятие прекрасным совершенным литературу числом, о котором делителей знали математики рождения Древней Греции, литературу было число 6. На выяснить шестом месте тоже на званом пиру риложение возлежал самый совершенные уважаемый, самый предлагаю знаменитый и самый интересных почетный гость. Особыми людей мистическими свойствами различных обладало число 6 в увлекательным учении пифагорейцев, могли к которым принадлежал школьников и Никомах. Много причем внимания уделяет могли этому числу хотелось великий Платон (V-IV литературу век до н.э.) в последнего своих «Диалогах» (приложение 3). Недаром непостижимость и в библейских преданиях числа утверждается, что различных мир создан этом был в шесть связь дней, ведь простые более совершенного платон числа среди идея совершенных чисел, мириады чем 6, нет, аббат поскольку оно например первое среди изучаются них.
Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах (приложение 5).
Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:
6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
До Евклида (приложение 3) были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей
2 p-1 и 2 p - 1,
где 2 p - 1 - простое число, является совершенным числом, -
эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида
2 p-1 · (2 p - 1)
подставить p = 2, то получим
2 2-1 · (2 2 - 1) = 21 · (22 - 1) = 2 · 3 = 6
Первое совершенное число, а если p = 3, то
2 3-1 · (23 - 1) = 22 · (23 - 1) = 4 · 7 = 28
Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:
2 5-1 · (25 - 1) = 24 · (25 - 1) = 16 · 31 = 496
2 7-1 · (27 - 1) = 26 · (27 - 1) = 64 · 127 = 8 128.
Почти носит полторы тысячи цели лет люди сбор знали только первое четыре совершенных могли числа, не зная, однако есть ли таковые следс еще и возможны библейскую ли совершенные числа, существуют не удовлетворяющие формуле нельзя Евклида. Неразрешимая алкуин загадка совершенных список чисел, бессилие появлением разума перед евклида их тайной, их непостижимость совершенные привели к признанию будет божественности этих греческий удивительных чисел.
Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735-804), один из виднейших деятелей просвещения (приложение 2), организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 - число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен - он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.
Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436-1476) (приложение 4) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно
ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.
Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье (приложение 4), тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел:
8 589 869 056 - шестое число 137 438 691 328 - седьмое число.
Навсегда осталась совершенные в истории загадочная евклида тайна, как интерес он сумел найти литературу их. До сих числа пор предложено получится только одно земного объяснение этой людей загадке - оно награды было дано многим еще его класс современниками: помощь простое божественного провидения, первое подсказавшего своему поиском избраннику верные просто значения двух числа совершенных чисел.
В цели дальнейшем поиск риложение затормозился вплоть образуют до середины XX века, учении когда с появлением прекрасным компьютеров стали числа возможными вычисления, простых превосходившие человеческие поиском возможности.
На январь 2018 года однако известно 50 чётных античные совершенных чисел, удовольствием поиском новых средневековой чисел занимается первое проект распределённых изучения вычислений GIMPS.
4.2 Нечётные совершенные числа
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.Распределённые вычисления — способ решения трудоёмких вычислительных задач с использованием нескольких компьютеров, чаще всего объединённых в параллельную вычислительную систему.
Свойства совершенных чисел.
Все чётные совершенные числа, кроме6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел
1 3 + 3 3 + 5 3 + … {displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+ldots } 28 = 1 3 + 3 3 ;
496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 ;
8 128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .
Все свойства чётные совершенные сбор числа являются треугольными числами. Это могли значит, что, также взяв совершенное интересом число одинаковых простые монет, мы всегда следс сможем сложить основой из них равносторонний каждая треугольник (приложение 6).
Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами (приложение 5) и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n:
6 = 2 · 3, n = 2;
28 = 4 · 7, n = 4;
496 = 16 · 31, n = 16;
8 128 = 64 · 127, n = 64.
Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала единиц, за которыми следует p − 1 {displaystyle p-1} нулей, следствие из их общего представления.
Если сложить все цифры чётного совершенного числа, кроме 6, затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1
2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1+0=1
Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.
Интересные факты о совершенных числах.
Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.
Скорее всего, были именно трудность множества нахождения таких чащиеся чисел послужила четвертое поводом к наделению выяснить их мистическими свойствами. Хотя, числа опираясь на библейскую четные историю, ее исследователи внимание сделали вывод, интересно что мир этой сотворен действительно данного прекрасным и совершенным, изучения ведь число непостижимость дней творения - это 6. А первое вот человек преданиях неидеален, так также как сотворен цели и живет в дне древнем седьмом. Однако совершенное его задача - это интересно стремиться к совершенству.
Давайте познакомимся с интересными фактами (приложение 7):
8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным;
руки человека - это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами;
луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней;
при начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей. В сумме получится 28. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28;
Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.
Анкетирование.
Прежде чем сделать окончательный вывод, я предлагаю ознакомиться с результатами опроса, цель которого - изучение мнения по данной теме.
Опрос проводился среди следующих категорий:
учащиеся 5 класса (25 человек);
учителя (8 человек);
родители школьников (17 человек).
Всего приняло участие 50 человек.
Опрос велся по следующим вопросам:
Знаете ли вы что такое совершенные числа?
Нужно ли изучать математику?
Результаты данного метода исследования показаны на диаграмме (приложение 7).
А еще я вместе со старшеклассниками провел небольшой блиц-опрос. Мы заходили в каждый класс и просили поднять руки кто любит математику. Ребята с интересом отнеслись к нашей просьбе. Меня порадовало, что большая часть школьников с любовью относиться к данному предмету. Всем было весело и интересно. Многие ребята спрашивали меня для чего нужна такая информация и я с удовольствием рассказал про свое исследование.
В современном мире многим занятия древних математиков кажутся ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать.
Совершенные числа не имеют широкого применения, поэтому и не изучаются на уроках математики.
Умение вычислять, болонье логически мыслить, совершенные быть настойчивым шестом и упорным, аккуратным седьмое и внимательным - эти время качества необходимы появлением каждому человеку. И, занимают в то же время, они формуле являются основой потопа хорошего понимания алкуин математики. Математика - волшебная приложение наука, которая идея помогает развивать есть эти способности алкуин и умения. Изучение время математики можно различных сравнивать с нелёгким, технико но увлекательным путешествием подставить по удивительной стране.
Заключение.
Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.
Анализируя научно-популярную литературу о совершенных числах, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа открыт до сих пор.
Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.
Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, узнать что-то новое, неизведанное.
Для раскрытия темы данного исследовательского проекта были использованы научно-методические источники, информационная база по математике, литературные произведения, информация из газет и журналов, печатные издания городской библиотеки, а также ресурсы сети интернет.
Список использованной литературы.
1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 164 с.
2. Википедия, информация по запросу «совершенные числа».
3. Гейзер Г.И., История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.
4. Депман, И. Я Совершенные числа // Квант. - 1991. - № 5. - С. 13-17.
5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1989. — 287 с.
6. Карпеченко Е. Тайны чисел. Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.
7. Крылов А.Н., Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 - 1994
8. В работе использованы картинки и фотографии по запросу "Поиск картинки" в Internet.
Приложение 1. Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.
Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли.
Приложение 2. Таблица поиска совершенных чисел с помощью калькулятора.
Приложение 3. Великие математики
Никомах Герасский Платон
(I-II век н.э.) (V-IV век до н.э.)
Евклид аббат Алкуин
(365-300 до н. э.) (ок.735-804)
Приложение 4. Великие математики
Региомонтан Пьетро Антонио Катальди
(1436-1476) (1548-1626)
Приложение 5. Здание Академии наук
Фёдор Бронников. Гимн пифагорейцев солнцу
Приложение 6. Треугольник из 28 монет.
Приложение 7. Интересные факты о совершенных числах
Ноев ковчег
Руки человека
Луна совершает оборот вокруг Земли
Л. Н. Толстой
Приложение 8. Результаты исследования