Тема урока: Производная сложной функции.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

Изучение правила нахождения производной сложной функции .

Отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

Развивать логику, умение анализировать, планировать свою учебную деятельность, логически излагать свои мысли

Развивать познавательный интерес.

воспитательная:

Воспитание и развитие разносторонних интересов личности;

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

План урока:

1. Организационный.момент: готовность группы к уроку, проверка отсутствующих на уроке.

2.Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний: повторение пройденного материала.

4.Изучение нового материала.

5. Закрепление материала

6. Домашнее задание

Ход урока:

1.Орг.момент: Приветствие, проверка готовности группы на уроке, сообщение темы и цели урока, мотивация учебной деятельности.

2. Проверка домашнего задания: Учащиеся показывают выполнение домашнего задания по пройденной теме.

3. Актуализация знаний учащихся:

1. Ребята, давайте вспомним, что же такое производная функции?

Ответ: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при .

2.Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной.

3.В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ: Скорость

4. Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной.

5.Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

6. Карточки с примерами:

а) у=5 x +3 x 2 ; б) у = ;в) у= ; г) у= ; д)2 x 7 +; е) у=

7. Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

у =ln( sin x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х , а функция s in x этого переменного .

1.Как вы думаете, называются эти функции?

Ответ: функции называются сложными функциями или функциями от функций.

2.Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Ответ: Нет.

3.Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

Ответ: С нахождением производной сложных функций.

4.Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

Ответ: Производная сложной функции

4. Изучение нового материала.

Правила и формулы дифференцирования, которые мы рассмотрели на прошлом занятии, является основными при вычислении производных. Но, если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом очень непростым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение : Функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией , составленной из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln( s in x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = s in x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x)

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой переменной , а u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру . Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х 0 , а функция y=f(u) дифференцируема в точке u 0 = g(x 0 ), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x 0 .

Правило:

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1: Функция у =ln( s in x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия синуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так : логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( s in x)=ln u, u=s in x.

. Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Далее получаем ( u) ’ =(s in x) ’ = cosx

У ’ = ’ ==ctg x

Пример2: Найти производную функции h ( x )=(2 x +3) 100 .

Решение: Функцию h можно представить в виде сложной функции h ( x ) = g ( f ( x )), где g ( y )= y 100 , y = f ( x )=2 x +3, так как f I ( x )=2, g I ( y )=100 y 99 , h I ( x )=2*100 y 9 =200(2 x +3) 99 .

5.Закрепление материала:(К доске выходят учащиеся и решают примеры)

№1.Найдите область определения функции.

А) y = ; б) y =;

В); г) у=

№2. Найдите производную функции:

А) (2 x -7) 14

Б) (3+5 x ) 10

В) (7 x -1) 3

Г) (8 x +6) 55

Д)

Е) (7 x -1) 5

№3. Заданы функции f ( x ) = 2- x - x 2 ; g ( x ) = ; p ( x ) = .

Задайте с помощью формул функции:

А) f ( g ( x )) ; б) g ( f ( x )); в) f ( p ( x ))

6. Домашнее задание:

Найти производную функции: а) (5 x -7) 17 ; б) (7 x +6) 14 ; В) y =; г) y =;

ОТКРЫТОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1 ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1.1 Вступление

1.2 Готовность группы к работе

1.3 Постановка цели занятия

2 ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА

2.1 Фронтальный опрос

2.2 Индивидуальная работа по карточкам

2.3 Игра «Домино»

2.4 Устная работа

3 ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

3.1 Производная сложной функции

4 ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

5.1 Проверочная работа с выборочной системой ответов

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6.1 Подведение итогов

6.2 Домашнее задание

ТЕМА: ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Тип занятия: комбинированный

Цели изучения темы:

образовательная:

1. формирование понятия сложной функции;
2. формирование умения находить по правилу производную сложной функции;
3. отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

1. развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
2. развивать наглядно-действенное творческое воображение;
3. развивать познавательный интерес.

воспитательная:

1. воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;
2. формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.
3. воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Обеспечение занятия:

1. таблица производных;
2. таблица Правила дифференцирования;
3. карточки для игры домино;
4. карточки – задания для индивидуальной работы;
5. карточки – задания для проверочной работы.

Студент должен знать:

1. определение производной;
2. правила и формулы дифференцирования;
3. понятие сложной функции;
4. правило нахождения производной сложной функции.

Студент должен уметь:

1. вычислять производные сложных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования;
2. применять полученные знания к решению задач.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1. Вступление
2. Готовность группы к работе
3. Постановка цели занятия

II ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

а) Вопросы для фронтального опроса:

1. Что называется производной функции в точке?
2. . Что такое дифференцирование?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
4. Что значит вычислить производную по алгоритму?
5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
6. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

б) Индивидуальный работа по карточкам

в) Игра «Домино»

х /		() /
С /		() /
() /		f / (x )
() /		() /
() /
() /		() /
() /		() /
() /		() /
() /		() /
() /	2 х	() /

В комплекте «Домино» 20 карточек. Пары перемешивают свои карточки, делят пополам и начинают раскладывать домино с карточки, в которой заполнена только правая или левая часть. Далее вы должны найти на другой карточке выражение тождественно равное выражению на первой карточке и т. д. В результате получается цепочка.

Домино считается разложенным только тогда, когда все карточки использованы и крайние половинки последней и первой карточки пустые.

Если не все карточки разложены, значит, вы где - то допустили ошибку, и её нужно найти.

Студенты, работающие в паре должны оценить друг друга и выставить оценки в лист контроля. Критерии оценки написаны на конвертах.

Критерии оценки:

1. “5” – без ошибок;
2. “4” – 1-2 ошибки;
3. “3” – 3-4 ошибки.

г) Устная работа

Пример 1 Найти производную функции .

Решение: .

Пример 2 Найти производную функции.

Решение: .

Пример 3 Найти производную функции.

Решение: .

Пример 4 Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

у =ln(cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х , а функция cos x этого переменного .

Как называются такого рода функции?

[Такого рода функции называются сложными

Функциями или функциями от функций.]

Умеем ли мы находить производные сложных функций?

[Нет.]

Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

[Производная сложной функции]

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

III ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение : Функция вида

y = f (g (x))

называется сложной функцией , составленной из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Промежуточная

Функция

При этом аргумент х называют независимой перемен ной , а u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру . Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х 0 , а функция y=f(u) дифференцируема в точке u 0 = g(x 0 ), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x 0 .

При этом

или

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и , умноженной на производную от и по переменной х .

Правило:

1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;
2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;
3. Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;
4. Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1: Функция у =ln(cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так : логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln(cos x)=ln u, u=cos x.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и .

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Пример2: Найти производную функции у = (x 3 - 5х + 7) 9 .

Решение : Обозначив в «уме» u = х 3 – 5x +7 , получим у = u 9 . Найдем:

По формуле имеем

4 ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

5 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

5.1 Проверочная работа в форме теста

Спецификация теста:

1. Тест гомогенный;
2. Тест закрытой формы;
3. Количество заданий – 3;
4. Время выполнения задания – 5мин.;
5. За правильный ответ испытуемый получает 1 балл,

За неправильный – 0 баллов.

Инструкция: выберите правильный вариант ответа.

Критерии оценки :

“5” – 3 балла

“4” – 2 балла

“3” - 1 балл

Студенты решают на листочках и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку в лист контроля (самоконтроль).

Вариант 1

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции:

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции:

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции:

а) ; б) ; в) .

Ключи ответов

№ задания	1 вариант	2 вариант	3вариант	4 вариант
	ответ	ответ	ответ	ответ

Тема: “Производная

сложной функции”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока: применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

• научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
• развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
• воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (0.5 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

1. Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.
2. Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
3. Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний

(5 мин.).

1. Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных.

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

IV. Программированный контроль

(5 мин.).

Найти производную.
Вариант 1.		Вариант 2.
у = tg x + ctg x.		у = tg x – ctg x.
У = х 2 +7х + 5		У = 2х 2 – 5х + 7
Варианты ответов.
1/cos 2 x + 1/sin 2 x	1/cos 2 x – 1/sin 2 x	1/sin 2 x – 1/cos 2 x
1,6х 0,6 + 2,5х 1,5	2,6х 0,6 + 1,5х 1,5	1,5х 0,5 + 4х 3	2,5х 0,5 + 4х 3

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

V. Новый материал

(5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, вычисляемую по формуле

x = y" u u" x .

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.

В точке х

Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что , так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .

При условии, что

Проверка.

VIII. Индивидуальные задания

(7 мин.).

На рабочем столе компьютера.

Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Индивидуальные задания”.

1. y = 2x + 3,6 sin 5 (p - x);
2. y = sin (2x 2 – 3).
3. y = (1 + sin3x) cos3x;
4. y = tg x (tg x – 1).

IX. Итог урока

(1 мин.).

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Какова область определения сложной функции?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции.

X. Задание на дом

(0.5 мин.).

§4. п16. № 224. Индивидуальные задания на дискетах.

АЛГЕБРА

10 класс

«Производная сложной функции»

Тема : Производная сложной функции.

Цель урока: ознакомление с формулой производной сложной функции; применение формулы при решении задач.

Задачи: способствовать формированию знаний по нахождению производной различных функций;

Развивать умения находить производные функций;способствовать развитию познавательных интересов учащихся, быстрого счета;

Воспитывать аккуратность при решении, целеустремленность, внимательность.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы : коллективная, индивидуальная

Методы : беседа, исследование, самостоятельная работа.

Ход урока.

Организационный момент.

Здравствуйте. Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с формулой нахождения производной сложной функции.

Слайд №2

Урок будет проходит по этапам олимпиадной программы.

Слайд №3

1.Отборочный тур.

2.Заявка.

3.Допуск к состязаниям.

4. Тренировочные сборы.

5. Состязания.

6.Награждение.

Устная работа

Каждая олимпиада начинается с отборочного тура, где необходимо ответить на вопросы и выполнить задания

Слайд №4

Отборочный тур.

1. Что такое функция?

2. Что такое область определение функции?

3. Какая функция называется непрерывной на промежутке?

4. Определите является ли функция непрерывной в точке х0

5. Является ли функция непрерывной в точках х1,х2,х3

Слайд № 5

6. Что такое производная функции?

7. Что такое приращение функции?

8. Что такое приращение аргумента?

9. Сформулируйте определение касательной к графику функции.

10. Вычислите производную:

Отборочный тур пройден.

Все темы знаете, но для дальнейшей работы необходимо заполнить заявочный лист.

Индивидуальная работа.

Вам необходимо заполнить лист, ответив на вопросы используя свой пин - код

1. В чём состоит физический смысл производной?

2. В чём состоит геометрический смысл производной?

3. Запишите уравнение касательной для функции у = ах 2 + вх +с

в точке х 0 =d

Следующий этап: Допуск к состязаниям.

Решите задания:

Составьте сложную функцию и вычислите производную:

а) f=x 2 +3 g=7x-2 y=f(g)

б) f= sin x g=2x y=f(g)

в)f=3x 5 -2x 4 +3x g=x+6 y=f(g)

Первые два задания затруднений не вызывают, а третье требует дополнительных знаний.

Мы воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции.

Y = f(g(x)) Y / =f / (g).g / (x)

Используя формулу проверим примеры под буквами а) и б) , сравним с ответами полученными ранее.

а) f(g)= (7x-2) 2 +3

б) f(g)=sin2x

Результаты получили одни и те же. Следовательно формулу можно применить и для третьего примера: f=3x 5 -2x 4 +3x g=x+6 y=f(g)

f (g ) =3(x+6) 5 -2(x+6) 4 +3(x+6)

Систематизация знаний.

Следующий шаг: состязания.

Каждый из вас попробует свои силы по решению сложных производных по формуле.

Выполняем задания из сборника ЕГЭ (2 часть) повышая уровень сложности.

№ 336,355,359,377,379

Рефлексия

Каждое достижение необходимо оценивать.

Вам предлагается оценить свои знания и умения по теме «Производная сложной функции» на сколько вы поняли тему, определив место на пьедестале почета.

Подведение итогов.

Что нового узнали?

На сколько понятно изложение?

Как работали на уроке?

Справитесь ли дома?

Запишите задание на дом: 380 - 410.

СПАСИБО ЗА УРОК!